t6/t³, dimana adalah bilangan real positif?
soal yang lebih jelasnya ada di foto
Nilai minimum dari [tex]\displaystyle\frac{9+25t^6}{t^3}[/tex] di mana [tex]t[/tex] merupakan bilangan real positif adalah 30.
Pembahasan
Kita akan menentukan nilai minimum dari [tex]\displaystyle\frac{9+25t^6}{t^3}[/tex] di mana [tex]t[/tex] adalah bilangan real positif.
Cara Pertama: Ketaksamaan AM-GM
Karena [tex]t[/tex] bilangan real positif, kita dapat menggunakan ketaksamaan AM-GM, di mana AM ≥ GM.
AM adalah arithmetic mean (rataan aritmetik), dan GM adalah geometric mean (rataan geometrik).
Jika terdapat suku-suku (data) [tex]x_1, x_2, {\dots}, x_n[/tex], maka:
[tex]\begin{aligned}\bullet\ &AM=\frac{x_1+x_2+{\dots}+x_n}{n}\\\bullet\ &GM=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot{\dots}\cdot x_n}\\\bullet\ &AM \ge GM\end{aligned}[/tex]
Jika kita pecah [tex]\dfrac{9+25t^6}{t^3}[/tex] menjadi 2 suku, maka suku pertama adalah [tex]\dfrac{9}{t^3}[/tex], dan suku kedua adalah [tex]\dfrac{25t^6}{t^3}[/tex] atau [tex]25t^3[/tex].
[tex]\begin{aligned}&AM \ge GM\\{\Rightarrow\ }&\frac{\dfrac{9}{t^3}+\dfrac{25t^6}{t^3}}{2} \ge \sqrt{\dfrac{9}{t^3}\cdot\dfrac{25t^6}{t^3}}\\{\Rightarrow\ }&\dfrac{9+25t^6}{t^3} \ge 2\sqrt{3^2\cdot5^2\cdot\dfrac{t^6}{t^6}}\\{\Rightarrow\ }&\dfrac{9+25t^6}{t^3} \ge 2\sqrt{15^2}\\{\Rightarrow\ }&\dfrac{9+25t^6}{t^3} \ge 2\cdot15\\{\therefore\ \;}&\dfrac{9+25t^6}{t^3} \ge \boxed{\ \bf30\ }\\\end{aligned}[/tex]
∴ Jadi, nilai minimumnya adalah 30.
Cara Kedua: Nilai Minimum Fungsi
Ambil [tex]\displaystyle f(t)=\frac{9+25t^6}{t^3}[/tex]. Nilai minimum [tex]f(t)[/tex] dapat ditentukan dari titik-titik stasionernya. Kita tentukan turunan pertamanya terlebih dahulu.
[tex]\begin{aligned}f'(t)&=\frac{d}{dt}\left(\frac{9+25t^6}{t^3}\right)\\&=\frac{d}{dt}\left(\frac{9}{t^3}+25t^3\right)\\&=\frac{d}{dt}\left(9t^{-3}+25t^3\right)\\&=-27t^{-4}+75t^2\\&=\frac{75t^6-27}{t^4}\\f'(t)&=\frac{3\left(25t^6-9\right)}{t^4}\\\end{aligned}[/tex]
Titik stasioner: [tex]f'(t)=0[/tex]
[tex]\begin{aligned}0&=\frac{3\left(25t^6-9\right)}{t^4}\\\rightsquigarrow\;0&=3\left(25t^6-9\right)\,,\ t\ne0\\\rightsquigarrow\;0&=25t^6-9\\\rightsquigarrow t^6&=\frac{9}{25}\\\rightsquigarrow\ \:t&=\sqrt[6]{\frac{9}{25}}\ \because\ t\in\mathbb{R}\,,\ t > 0\end{aligned}[/tex]
Pada penyelesaian di atas, sebenarnya ada nilai sekawan negatifnya. Namun, karena [tex]t[/tex] adalah bilangan real positif, diambil solusi positif.
Kita masih perlu memeriksanya dengan turunan kedua.
Nilai minimum diperoleh ketika [tex]f''(t) > 0[/tex].
[tex]\begin{aligned}f''(t)&=\frac{df'(t)}{dt}\\&=\frac{d}{dt}\left(\frac{3\left(25t^6-9\right)}{t^4}\right)\\&=3\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{25t^6-9}{t^4}\right)\\&=3\cdot\frac{d}{dt}\left(25t^2-\frac{9}{t^4}\right)\\&=3\left(50t+\frac{36}{t^5}\right)\\&=6\left(25t+\frac{18}{t^5}\right)\\f''(t)&=\frac{6\left(25t^6+18\right)}{t^5}\end{aligned}[/tex]
Dengan bentuk fungsi turunan kedua seperti itu, dan [tex]t > 0[/tex], maka diperoleh [tex]f''(t) > 0[/tex]. Oleh karena itu, benar bahwa:
[tex]\displaystyle t_{\rm min}=\sqrt[6]{\frac{9}{25}}[/tex]
Nilai minimum yang kita cari adalah:
[tex]\begin{aligned}f\left(t_{\rm min}\right)&=f\left(\sqrt[6]{\frac{9}{25}}\right)\\&=\frac{9+25\left(\sqrt[6]{\dfrac{9}{25}}\right)^6}{\left(\sqrt[6]{\dfrac{9}{25}}\right)^3}\\&=\frac{9+25\cdot\dfrac{9}{25}}{\sqrt{\dfrac{9}{25}}}\\&=\frac{9+9}{\frac{3}{5}}\\&=18\cdot\frac{5}{3}\\f\left(t_{\rm min}\right)&=\boxed{\ \bf30\ }\end{aligned}[/tex]
∴ Jadi, nilai minimumnya adalah 30.
KESIMPULAN
∴ Nilai minimum dari [tex]\displaystyle\frac{9+25t^6}{t^3}[/tex] di mana [tex]t[/tex] merupakan bilangan real positif adalah 30.
[answer.2.content]
